空沟隔振对瑞利波传播影响的理论研究(2)

1.3 空沟传播路径的公式推导

远场的瑞利波沿地基及空沟自由表面传播路径见图5[16]，图5中：dR为激励点到空沟左侧距离；为竖向集中简谐荷载fj(t)的幅值，θj为相位，ωj为频率。

图5 瑞利波沿地基及空沟传播二维示意图

对式(1)中等参数进行转换，并用传播距离y和瑞利波波长λR等参数来表示[11]，可得到入射波引起的竖向和水平位移为

式中：cR、λRj分别为瑞利波的波速与波长。

在二维平面内，瑞利波沿空沟和空沟外侧土体自由表面位移的推演过程如下：

(1)OA段

OA段的位移包括两部分，一部分为来自振源的入射波，另一部分为入射波经左侧空沟壁反射产生的反射波。对于地表上空沟内侧任意点，反射波相对于入射波，需要考虑时间和传播距离引起的相位差。反射波引起的位移为

uy′≈

当时间t≥(2dR-y)/cR时，OA段地表总位移等于入射波与反射波叠加响应，转角A点的位移为

uz≈

uy≈

当空沟的埋置深度足够大，入射波遇空沟内侧壁反射，振动的绝大部分沿原路返回，OA段入射波与反射波叠加时，产生的响应接近于入射波在无空沟时相同位置相应的2倍。

(2)AB段

振动通过边缘A沿AB段往下传播相对于交界面BE的入射波包括两部分：瑞利波沿AB段传播引起的位移和在z=h水平方向上向右传播在AB上引起的位移；两者考虑因时间和距离产生相位的条件下进行叠加计算，即得到相对于交界面BE的入射波，即

uy≈

uz≈

(3)BC段

在分界面BE处，根据式(3)得到的连续条件，瑞利波过点B后，沿空沟底部自由表面传播，对于分界面CF而言是入射波，根据分界面的反射与透射得出

uz≈

uy≈

(4)CD段

根据分界面CF处的连续条件，采用与界面BE相同的处理方法，得出CD段上相对于界面CF的入射波，即

uy≈

uz≈

(5)DG段

沿空沟外侧沟壁竖向段CD传播的瑞利波，位移随深度的增大而衰减；同时，沿垂直于空沟外侧沟壁CD以下某一深度的水平和竖向位移在该水平位置沿z轴负方向传播，与土体自由面上DG段相遇后产生反射波的同时，沿DG段传播，引起空沟外侧土体自由表面的振动。

波在过D点沿DG传播过程中，CD上质点的竖向振动转变为DG的水平振动，CD上质点的水平振动转化为DG段的竖向振动。O点简谐荷载在DG段引起的竖向位移和水平位移为

uz≈

uy≈

式中：T1、T2分别为空沟底部犄角处B、C的透射系数；分别为瑞利波引起的竖向和水平两个方向的位移振幅的归一化值；Δh为空沟内侧或外侧沟壁上任意一点的埋深；s为空沟边长和，s=2h+w;l为拾振点与空沟外侧边缘的距离；dL=(dR2+n2d2)1/2为除O点外，其他位置的激振点fk(t)(k=0，1，2，…，n)距离空沟内侧边缘的距离。

瑞利波随深度的增加快速衰减；当沟深大于1.5λR波长时，式(10)中的第二项与第一项相比可忽略。

1.4 多点激励下位移计算

如图6所示，地表上任一拾振点P的振动响应，可认为是由多个集中简谐荷载的叠加，需要同时考虑时间和位置两个因素引起的相位变化，图中d为荷载列的距离[17]。

图6 多个竖向简谐荷载叠加示意

若激振点处的作用力时程曲线f(t)呈非周期性变化，可以对其进行快速傅里叶变换(FFT)，得到的一系列周期性集中简谐荷载的叠加。

振源列中除O点以外其他位置的激振点fk(t)在DG段引起的竖向位移uz和水平位移uy为

uz≈

uy≈

2 有无空沟时远场土体地表响应的对比

根据以上理论推导，讨论在有无空沟的工况下，土体表面上任一点(空沟外侧，无沟时为相应的对应点)的振动响应对比。

地基表面瑞利波速为75 m/s，空沟内侧边缘与O点处激振点的距离dR=25 m，空沟埋深h=4 m，沟宽w=1 m，拾振点距离空沟外侧边缘的距离分别为l=2、4、6、8、10 m(分别对应无空沟地基上与振源的距离d=28、30、32、34、36 m)。施加的竖向荷载为周期性简谐荷载，P=8 kN，频率ω变化设定为1、5、10、…、35、40 Hz，此次计算不考虑相位变化。空沟的加载模型见图7。

图7 含空沟的土体表面加载示意

作用在振源处土体上竖向荷载的时程曲线如图8所示。

文章来源：《创新创业理论研究与实践》 网址: http://www.cxcyllyjysj.cn/qikandaodu/2020/1228/670.html